(tradução e
adaptação do artigo de Tad Watanabe Representations
in Teaching and Learning Fractions, publicado na revista Teaching Children Mathematics, em Abril de
2002, vol.8, 8, p. 457-463)
Modelos
para as fracções
Neste artigo
faz-se a distinção entre modelo e representação, o termo modelo é usado para
referir os materiais, ferramentas de ensino que se utilizam, distinguindo-se
assim do termo representação. Usa-se um modelo para representar uma ideia
matemática, neste caso a fracção.
Encontram-se
usualmente três modelos para fracções: o modelo linear, o modelo da área e o
modelo discreto (ver fig.1, com estes 3 modelos para a fracção 3/4).
Muitos dos
materiais existentes são apropriados para um determinado modelo, embora alguns
possam ser usados para diversos modelos. Por exemplo, as barras Cuisenaire são
usadas para o modelo linear, enquanto que fichas/marcas (dos jogos) podem ser
usados para o modelo discreto. Em contrapartida, os cubos de encaixar podem ser
usados como modelo discreto, como as fichas, mas encaixando uns nos outros
formam um “comboio” e são usados como modelo linear. Os blocos padrão são
geralmente usados no modelo da área.
Quando os adultos vêm uma criança usar os blocos padrão,
um azul e dois verdes (como estão na figura 2) em que o azul modela a fracção
1/3, pensam que a criança não compreendeu o conceito de fracção de forma a
modelá-la correctamente.
E isso pode não corresponder ao que se passa com a
criança. Nada a impede de modelar fracções com o modelo discreto, usando cada
bloco padrão como uma unidade.
O que é que este episódio
nos diz? Que a compreensão pela criança das figuras geométricas e da sua medida
de área, pode afectar este raciocínio. Para esta criança se três peças mesmo diferentes encaixam
para fazer uma outra figura, cada uma delas seria 1/3 da figura obtida.
Analisemos um
outro episódio com outra criança no 2.º ano de escolaridade e numa tarefa de
investigação acerca dos bolos preferidos. Foram apresentados três quadrados
(ver fig.3), que modelavam esses bolos e que a criança sobrepôs para ver que
eram iguais e quando se lhe perguntou qual das partes “pintadas” do bolo
escolheria numa situação em que estivesse com muita fome, respondeu que optaria
pela que tem a forma triangular porque era o bocado maior, visto ser o mais
comprido.
Mais uma vez a
compreensão da noção de área pode ter afectado o raciocínio desta criança.
O que nos leva a
questionar se todos os modelos são apropriados em determinados contextos, em
qualquer idade e ano de escolaridade. Se o conceito de área ainda está a ser
desenvolvido, será este modelo apropriado para trabalhar as fracções?
Métodos
para representar fracções
Para cada um dos
três modelos referidos, podemos usar, pelo menos, dois métodos diferentes para
representar fracções:
(1)
o método da parte-todo e
(2)
o método da comparação
Na fig. 1 a fracção ¾, para cada
modelo, está representada pelo método parte-todo. O método da comparação também
pode ser usado para cada um dos modelos já referidos como mostra a figura 3
A principal
diferença entre estes dois métodos de representação está na relação entre o
todo/a unidade e a parte/a fracção. No método da parte-todo, a fracção/a parte
está encaixada no todo, faz parte integrante do todo. No método da comparação,
o todo e a parte fraccionária são construídos separadamente. Usando este método
a fracção ¾ está representada, para cada um dos modelos, da forma que se
apresenta na fig. 4. Este método reflecte melhor o significado da fracção como
uma razão.
Alguns materiais
manipulativos são mais adequados a um determinado método de representação e
outros podem ser usados com ambos. Por exemplo, as barras Cuisenaire, usadas
como modelos lineares ajustam-se melhor ao método da comparação do que ao
método da parte-todo. O método da comparação mostra o todo/a unidade e a
fracção separadamente. Ao usar as barras podemos dizer que a barra verde escura
representa a unidade/o todo. Então a barra vermelha representa a fracção 1/3; a
branca 1/6 e a verde clara ½, etc. Os cubos de encaixar são mais usados para
representar fracções pelo método parte-todo, embora também possam ser usados no
método da comparação. Quando se usam diferentes tipos de materiais
manipulativos, os professores devem estar atentos aos diferentes métodos de
representação. A forma como os materiais estão a ser usados para representar a
fracção deve ser consistente com o método que está a ser explorado, ou seja, se
estamos a introduzir a fracção como a parte de uma unidade então será mais
adequado usar cubos de encaixar do que as barras cuisenaire.
Outros conceitos
acerca das fracções, como a sua comparação (qual representa o número maior),
também pode ser melhor explorado usando o método da comparação, porque ajuda as
crianças a compreender a necessidade de uma unidade comum. Assim os professores
podem optar por usar as barras cuiseniare em vez dos cubos de encaixar.
Outra questão
que deve ser equacionada, relativamente a estes dois métodos, é a sua adequação
na perspectiva da teoria desenvolvimentista. Por exemplo, quando representamos
fracções usando o método da parte-todo, a parte fraccionária joga, em
simultâneo, dois papéis diferentes: a parte/a fracção é, em si, uma entidade
própria mas ao mesmo tempo faz parte integrante da outra entidade (a unidade).
Esta compreensão não é tarefa fácil para a criança porque os modelos para este
método não lhe permitem manipular separadamente a parte e o todo. Quando a
criança tira a parte, o todo/a unidade deixa de existir. Este método também não
dá ênfase suficiente à ideia de que a fracção é, em si, uma quantidade, um
número. Assim, o método da comparação pode ser o mais útil, porque também se
pode estabelecer uma relação entre a
parte e o todo mas a fracção/a parte pode ser manipulada de forma independente
do todo.
A recta numérica
é uma ferramenta também utilizada por alguns professores para representar
fracções. Como a utilizam para trabalhar com os números inteiros, consideram
que pode ser um recurso útil para mostrar a relação entre números inteiros e
números fraccionários. Mas a investigação tem mostrado que, usando a recta
numérica, as crianças têm dificuldade em desenvolver o conceito de fracção como
número e, por isso, só faz sentido usá-la numa fase posterior quando aquele
conceito já está construído.
A
linguagem e a notação
Em inglês (e em
português também) usamos uma combinação entre número cardinal (numerador) e
número ordinal (denominador) para designar verbalmente uma fracção (por ex. ¼,
um quarto).
O uso do número
cardinal é natural para a criança mas o ordinal já é outra questão. Além disso
quando lemos começamos pelo numerador. Noutras línguas as fracções
representam-se, verbalmente, de forma diferente. Por exemplo, em japonês ¼
lê-se “yon bun no ichi”. Em primeiro lugar lêem o denominador (Yon é 4). “Bun
no” significa “repartido/dividido de” e “ichi” é um. Assim a expressão em
japonês significa “uma das quatro partes” Ao ler o denominador primeiro dá-se
mais ênfase ao acto de repartir/dividir, sendo então uma linguagem mais próxima
do método de representação parte-todo.
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